Везде

RAS Energy, Mechanics & ControlПрикладная математика и механика Journal of Applied Mathematics and Mechanics

  • ISSN (Print) 0032-8235
  • ISSN (Online) 3034-5758

EIGENOSCILLATIONS OF THE JUNCTION OF AN ELASTIC BODY AND THIN RODS

You can
PII
S30345758S0032823525040034-1
DOI
10.7868/S3034575825040034
Publication type
Article
Status
Published
Authors
S. А. Nazarov
  • Affiliation: Institute of Problems of Mechanical Science RAS
Volume/ Edition
Volume 89 / Issue number 4
Pages
559-587
Abstract
We study behaviour of eigenfrequencies of an anisotropic and homogeneous body with several thin cylindrical elastic rods whose exterior ends are clamped. We prove that, as rods thin, in the low-frequency range limits of normalized eigenvalues of the singularly perturbed elasticity problem imply eigenvalues of the family of systems of ordinary differential equations on rod’s axes with the Dirichlet and the Steklov boundary conditions at the outer and inner endpoints respectively while the systems are combined into a joint spectral problem by these the Steklov conditions. For an isotropic junction the limiting problem decouples into the Dirichlet problem for fourth order differential operators and the algebraic problem for a symmetric positive matrix of a size dependent on the number of clamped rods.
Keywords
сочленение тела и стержней асимптотика частот и мод процедура понижения размерности условия Дирихле алгебраические спектральные условия
Date of publication
03.12.2025
Year of publication
2025
Number of purchasers
0
Views
15

References

  1. 1. Bertram A. Elasticity and plasticity of large deformations. Berlin: Springer, 2005.
  2. 2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. M.: Наука, 1977.
  3. 3. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга. 2002.
  4. 4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  5. 5. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
  6. 6. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
  7. 7. Nazarov S.A. Junction problem of bee-on-ceiling type in the theory of anisotropic elasticity // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Série 1, 1995. V. 320. Iss. 11. P. 1419–1424. https://doi.org/10.1016/0764-4442 (95)90092-6
  8. 8. Kozlov V.A., Maz’ya V. G., Movchan A.B. Asymptotic representation of elastic fields in a multi-structure // Asympt. Anal. 1995. V. 11. № 4. P. 343–415. https://doi.org/10.3233/ASY-1995-11402
  9. 9. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic Analysis of Fields in Multi-structures // Oxford Math. Monogr. Oxford: Clarendon, 1999. https://doi.org/10.1093/oso/9780198514954.001.0001
  10. 10. Kozlov V.A., Maz’ya V. G., Movchan A.B. Fields in non-degenerate 1D–3D elastic multistructures // Quarterly J. of Mech.& Appl. Math. 2001. V. 54. № 2. P. 177–212. https://doi.org/10.1093/qjmam/54.2.177
  11. 11. Назаров С.А. Асимптотика решений спектральной задачи теории упругости для трехмерного тела с тонкой стяжкой // Сиб. матем. ж. 2012. Т. 53. № 2. С. 345–364. https://doi.org/10.1134/S0037446612020103
  12. 12. Beale J.T. Scattering frequencies of resonators // Comm. Pure Appl. Math. 1973. Vol. 26, № 4. P. 549–563. https://doi.org/10.1002/cpa.3160260408
  13. 13. Арсеньев А.А. О существовании резонансных полюсов и резонансов при рассеянии в случае краевых условий II и III рода // ЖВММФ. 1976. Т. 16. № 3. С. 718–724.
  14. 14. Гадыльшин Р.Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I // Матем. заметки. 1993. Т. 54, № 6. С. 10–21.
  15. 15. Kozlov V.A., Maz’ya V.G, Movchan A.B. Asymptotic analysis of a mixed boundary value problem in a multi-structure // Asymptot. Anal. 1994. V. 8. № 2. P. 105–143. https://doi.org/10.3233/ASY-1994-8201
  16. 16. Назаров С.А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей. 1 // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. Вып. 18. 1995. С. 3–78.
  17. 17. Назаров С.А. Асимптотический анализ и моделирование сочленения массивного тела с тонкими стержнями // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 24. 2004. С. 95–214.
  18. 18. Гадыльшин Р.Р. О собственных значениях “гантели” с тонкой ручкой» // Изв. РАН. Сер. мат. 2005. Т. 69, № 2. С. 45–110.
  19. 19. Joly P., Tordeux S. Matching of asymptotic expansions for wave propagation in media with thin slots I: The asymptotic expansion // SIAM Multiscale Model. Simul. 2006. V. 5. № 1. P. 304–336. https://doi.org/10.1137/05064494X
  20. 20. Lin J., Zhang H. Scattering and field enhancement of a perfect conducting narrow slit // SIAM J. on Appl. Math. 2017. Vol. 77. № 3. P. 951–976. https://doi.org/10.1137/16M1094464
  21. 21. Lin J., Zhang H. Scattering by a periodic array of subwavelength slits I: field enhancement in the diffraction regime // Multiscale Model. Sim. 2018. Vol. 16. № 2. P. 922–953. https://doi.org/10.1137/17M1133774
  22. 22. Chesnel L., Nazarov S.A. Design of an acoustic energy distributor using thin resonant slits // Proc. Royal Soiety. 2021. V. 477. № 2247. https://doi.org/10.1098/rspa.2020.0896
  23. 23. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia É. Couplage flexion-torsion-traction dans les poutres anisotropes a section heterogene // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 2. 1991. V. 312. № 4. P. 337–344.
  24. 24. Назаров С.А. Обоснование асимптотической теории тонких стержней. Интегральные и поточечные оценки // Проб. матем. анализа. Вып. 17. 1997. С. 101–152.
  25. 25. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia É. Coques elastiques mines. Proprietes asymptotiques. Paris: Masson, 1997.
  26. 26. Елисеев В.В., Орлов С.Г. Асимптотическое расщепление в пространственной задаче линейной упругости для удлиненных тел со структурой // ПММ. 1999. T. 63. № 1. C. 93–101.
  27. 27. Panassenko G. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Dordrecht: Springer, 2005.
  28. 28. Назаров С.А. Неравенство Корна для упругого соединения тела со стержнем // Пробл. механ. деформ. твердого тела. 2002. С. 234–240.
  29. 29. Назаров С.А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней // Успехи матем. наук. 2008. Т. 63. № 1. С. 37–110.
  30. 30. Назаров С.А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7. № 5. С. 1–92.
  31. 31. Panassenko G.P. Asymptotic analysis of bar systems. 1. // Russian J. Math. Phys. 1994. V. 2. № 3. P. 325–352; 2. // ibid. 1996. V. 4. № 1. P. 87–116.
  32. 32. Korn A. Solution générale du probléme d’équilibre dans la théorie l’élasticité dans le cas où les efforts sont donnés à la surface // Ann. Université Toulouse. 1908. P. 165–269.
  33. 33. Cioranescu D., Oleinik O.A., Tronel G. On Korn’s inequalities for frame type structures and junctions // C. R. Acad. Sci. Paris S´er. 1 Math. 1989. V. 309. № 9. P. 591–596.
  34. 34. Nazarov S.A. Korn’s inequalities for junctions of spatial bodies and thin rods // Math. Methods Appl. Sci. 1997. V. 20. № 3. P. 219–243.
  35. 35. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М., 1980.
  36. 36. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна. // УМН. 1988. Т. 43. №5. С. 55–98.
  37. 37. Назаров С.А. Неравенства Корна, асимптотически точные для тонких областей // Вест. СПбГУ. Сер. 1. 1992. Вып. 2 (№ 8). С. 19–24.
  38. 38. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.
  39. 39. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // УМН. 1999. Т. 54, №5. С. 77–142.
  40. 40. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московск. матем. об-ва. 1963. Т. 16. С. 219–292.
  41. 41. Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1994.
  42. 42. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Rossmann J. Elliptic Boundary Value Problems in Domains with Point Singularities. Providence: Amer. Math. Soc., 1997.
  43. 43. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 c.
  44. 44. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.
  45. 45. Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic Theory of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains. Vol. 1 & 2. Basel: Birkhauser, 2000). https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8434-1
  46. 46. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: изд-во Ленингр. ун–та, 1980.
  47. 47. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  48. 48. Ржаницын А.Р. Строительная механика. M.: Высшая школа, 1982.
  49. 49. Светлицкий В.А. Механика стержней. Т. 1, 2. M.: Высшая школа, 1987.
  50. 50. Tutek Z., Aganovich I. A justification of the one-dimensional model of an elastic beam // Math. Methods in Appl. Sci. 1986. V. 8. P. 1–14.
  51. 51. Назаров С.А. Колебания упругих тел с мелкими тяжелыми включениями (концентрированными массами) // Прикладная математика и механика. 2025. Т. 89. № 4. С. 559–587.
  52. 52. Панасенко Г.П. Осреднение процессов в сильно неоднородных структурах // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298. № 2. С. 76–79.
  53. 53. Панасенко Г.П. Многокомпонентное осреднение процессов в сильно неоднородных структурах // Матем. сб., 1990. Т. 181. № 1. С. 134–142.
  54. 54. Аргатов И.И., Назаров С.А. О равновесии упругого тела на пронизывающих его горизонтальных тонких упругих стержнях // ПМТФ. 1999. Т. 40. № 4. С. 236–242.
  55. 55. Cioranescu D., Oleinik O.A., Tronel G. Korn’s inequalities for frame type structures and junctions with sharp estimates for the constants // Asymptot. Anal. 1994. V. 8, № 1. P. 1–14. https://doi.org/10.3233/ASY-1994-8101
QR
Translate

Индексирование

Scopus

Scopus

Scopus

Crossref

Scopus

Higher Attestation Commission

At the Ministry of Education and Science of the Russian Federation

Scopus

Scientific Electronic Library