Везде

RAS Energy, Mechanics & ControlПрикладная математика и механика Journal of Applied Mathematics and Mechanics

  • ISSN (Print) 0032-8235
  • ISSN (Online) 3034-5758

Quaternion and Biquaternion Methods and Regular Models of Analytical Mechanics (Review)

You can
PII
10.31857/S0032823523040033-1
DOI
10.31857/S0032823523040033
Publication type
Status
Published
Authors
Yu. N. Chelnokov
  • Affiliation: Institute of Precision Mechanics and Control Problems of the RAS
Volume/ Edition
Volume 87 / Issue number 4
Pages
519-556
Abstract
The work is of a survey analytical nature. The first part of the work presents quaternion and biquaternion methods for describing motion, models of the theory of finite displacements and regular kinematics of a rigid body based on the use of four-dimensional real and dual Euler (Rodrigues–Hamilton) parameters. These models, in contrast to the classical models of kinematics in Euler–Krylov angles and their dual counterparts, do not have division-by-zero features and do not contain trigonometric functions, which increases the efficiency of analytical research and numerical solution of problems in mechanics, inertial navigation, and motion control. The problem of regularization of differential equations of the perturbed spatial two-body problem, which underlies celestial mechanics and space flight mechanics (astrodynamics), is discussed using the Euler parameters, four-dimensional Kustaanheimo–Stiefel variables, and Hamilton quaternions: the problem of eliminating singularities (division by zero), which are generated by the Newtonian gravitational forces acting on a celestial or cosmic body and which complicate the analytical and numerical study of the motion of a body near gravitating bodies or its motion along highly elongated orbits. The history of the regularization problem and the regular Kustaanheim–Stiefel equations, which have found wide application in celestial mechanics and astrodynamics, are presented. We present the quaternion methods of regularization, which have a number of advantages over Kustaanheimo–Stiefel matrix regularization, and various regular quaternion equations of the perturbed spatial two-body problem (for both absolute and relative motion). The results of a comparative study of the accuracy of numerical integration of various forms of regularized equations of celestial mechanics and astrodynamics in Kustaanheimo–Stiefel variables and Newtonian equations in Cartesian coordinates are presented, showing that the accuracy of numerical integration of regularized equations in Kustaanheimo–Stiefel variables is much higher (by several orders of magnitude) than the accuracy of numerical integration Newtonian equations.
Keywords
аналитическая механика, геометрия движения, регулярная кинематика, механика космического полета (астродинамика), возмущенная пространственная задача двух тел регуляризация особенностей, порождаемых гравитационными силами уравнения орбитального движения, параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), переменные Кустаанхеймо–Штифеля, кватернионы, бикватернионы
Date of publication
01.04.2023
Year of publication
2023
Number of purchasers
0
Views
35

References

  1. 1. Euler L. Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile // Novi Comm. Acad. Sci. Imper. Petrop. 1770. V. 15. P. 75–106.
  2. 2. Rodrigues O. Des lois geometriques qui regissent les deplacements d’un systems olide dans l’espase, et de la variation des coordonnee sprovenant de ses deplacement sconsideeres independamment des causes qui peuvent les produire // J. Math. Pureset Appl. 1840. V. 5. P. 380–440.
  3. 3. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: ОНТИ НКТИ СССР, 1937. 500 с.
  4. 4. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматлит, 1961. 824 с.
  5. 5. Челноков Ю.Н. Об интегрировании кинематических уравнений винтового движения твердого тела // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 1. С. 32–39.
  6. 6. Челноков Ю.Н. Об одном винтовом методе описания движения твердого тела // в: Сб. науч.-метод. статей по теор. механике. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С. 129–138.
  7. 7. Челноков Ю.Н. Об одной форме уравнений инерциальной навигации // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 20–28.
  8. 8. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin: Hodges&Smith, 1853. 382 p.
  9. 9. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.
  10. 10. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения. М.: Физматлит, 2006. 511 с.
  11. 11. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2008. 304 с.
  12. 12. Clifford W. Preliminary sketch of biquaternions // Proc. London Math. Soc. 1873. № 4. P. 381–395.
  13. 13. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань: 1895. 215 с.
  14. 14. Котельников А.П. Винты и комплексные числа // Изв. физ.-матем. об-ва при Казанском ун-те. 1896. Сер. 2. № 6. С. 23–33.
  15. 15. Котельников А.П. Теория векторов и комплексные числа // в сб.: Некоторые применения идей Лобачевского в механике и физике. М.: Гостехиздат, 1950. С. 7–47.
  16. 16. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем. M.: Наука, 1992. 280 с.
  17. 17. Gibbs J.W. Scientific Papers. New York: Dover, 1961.
  18. 18. Gibbs J.W. Vector Analysis. New York: Scribners, 1901.
  19. 19. Stiefel E.L., Scheifele G. Linear and Regular Celestial Mechanics. Berlin: Springer, 1971. 350 p.
  20. 20. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 351 с.
  21. 21. Ickes B.F. A new method for performing digital control system attitude computations using quaternions // AIAA J. 1970. № 8. P. 13–17.
  22. 22. Плотников П.К., Челноков Ю.Н. Применение кватернионных матриц в теории конечного поворота твердого тела // в: Сб. науч.-метод. статей по теор. механике. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С. 122–129.
  23. 23. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения. M.: Наука, 1978. 328 с.
  24. 24. Челноков Ю.Н. Об устойчивости решений бикватернионного кинематического уравнения винтового движения твердого тела // в: Сб. науч.-метод. статей по теор. механике. М.: Высшая школа, 1983. Вып. 13. С. 103–109.
  25. 25. Челноков Ю.Н. Исследование некоторых алгоритмических задач определения ориентации объекта бесплатформенными инерциальными навигационными системами. Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. техн. наук, Ленинградский электротехнический институт им. В.И. Ульянова (Ленина), Ленинград: 1974, 20 с.
  26. 26. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные методы в задачах механики твердого тела и материальных систем. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матем. наук, Институт проблем механики АН СССР, Москва: 1987. 36 с.
  27. 27. Челноков Ю.Н. Кватернионные модели и методы динамики, навигации и управления движением. М.: Физматлит, 2011. 560 с.
  28. 28. Velte W. Concerning the regularizing KS-transformation // Celest. Mech. 1978. V. 17. P. 395–403.
  29. 29. Vivarelli M.D. The KS-transformation in hypercomplex form // Celest. Mech. 1983. V. 29. P. 45–50.
  30. 30. Vivarelli M.D. Geometrical and physical outlook on the cross product of two quaternions // Celest. Mech. 1988. V. 41. P. 359–370.
  31. 31. Vivarelli M.D. On the connection among three classical mechanical problems via the hypercomplex KS-transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 1991. V. 50. P. 109–124.
  32. 32. Шагов О.Б. О двух видах уравнений движения искусственного спутника Земли в осцилляторной форме // Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 3–8.
  33. 33. Deprit A., Elipe A., Ferrer S. Linearization: Laplace vs. Stiefel // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 1994. V. 58. P. 151–201.
  34. 34. Vrbik J. Celestial mechanics via quaternions // Canad. J. Phys. 1994. V. 72. P. 141–146.
  35. 35. Vrbik J. Perturbed Kepler problem in quaternionic form // J. Phys. A: Math.&General. 1995. V. 28. P. 193–198.
  36. 36. Waldvogel J. Quaternions and the perturbed Kepler problem // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2006. V. 95. P. 201–212.
  37. 37. Waldvogel J. Quaternions for regularizing Celestial Mechanics: the right way // Mech.&Dyn. Astron. 2008. V. 102. № 1. P. 149–162.
  38. 38. Saha P. Interpreting the Kustaanheimo-Stiefel transform in gravitational dynamics // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2009. V. 400. P. 228–231. https://doi.org/10.1111/j.1365-2966.2009.15437.x. arXiv:0803.4441
  39. 39. Zhao L. Kustaanheimo-Stiefel regularization and the quadrupolar conjugacy // R&C Dyn. 2015. V. 20. № 1. P. 19–36. https://doi.org/10.1134/S1560354715010025
  40. 40. Roa J., Urrutxua H., Pelaez J. Stability and chaos in Kustaanheimo-Stiefel space induced by the Hopf fibration // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2016. V. 459. № 3. P. 2444–2454. https://doi.org/10.1093/mnras/stw780.arXiv:1604.06673
  41. 41. Roa J., Pelaez J. The theory of asynchronous relative motion II: universal and regular solutions // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2017. V. 127. P. 343–368.
  42. 42. Breiter S., Langner K. Kustaanheimo-Stiefel transformation with an arbitrary defining vector // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2017. V. 128. P. 323–342.
  43. 43. Breiter S., Langner K. The extended Lissajous–Levi-Civita transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2018. V. 130. Art. No. 68. https://doi.org/10.1007/s10569-018-9862-4
  44. 44. Breiter S., Langner K. The Lissajous–Kustaanheimo–Stiefel transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art. No. 9. https://doi.org/10.1007/s10569-019-9887-3
  45. 45. Ferrer S., Crespo F. Alternative angle-based approach to the KS-map. An interpretation through symmetry // J. Geom. Mech. 2018. V. 10. № 3. P. 359–372.
  46. 46. Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 6. С. 12–21.
  47. 47. Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 151–158.
  48. 48. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 1: Общая теория. Приложения к задаче регуляризации и к задаче о движении ИСЗ. М.: Деп. в ВИНИТИ 13.12.85. № 218628-В, 1985. 36 с.
  49. 49. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 2: Пространственная задача невозмущенного центрального движения. Задача с начальными условиями. М.: Деп. в ВИНИТИ 13.22.85. № 8629-В, 1985. 18 с.
  50. 50. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I // Космич. исслед. 1992. Т. 30. Вып. 6. С. 759–770.
  51. 51. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. II // Космич. исслед. 1993. Т. 31. Вып. 3. С. 3–15.
  52. 52. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 1 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 20–30.
  53. 53. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 2 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 2. С. 3–11.
  54. 54. Челноков Ю.Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 5. С. 18–44.
  55. 55. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. I // Космич. исслед. 2013. Т. 51. № 5. С. 389–401. https://doi.org/10.7868/S0023420613050026
  56. 56. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. II // Космич. исслед. 2014. Т. 52. № 4. С. 322–336. https://doi.org/10.7868/S0023420614030029
  57. 57. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. III // Космич. исслед. 2015. Т. 53. № 5. С. 430–446. https://doi.org/10.7868/S0023420615050040
  58. 58. Челноков Ю.Н. Возмущенная пространственная задача двух тел: регулярные кватернионные уравнения относительного движения // ПММ. 2018. Т. 82. № 6. С. 721–733. https://doi.org/10.31857/S003282350002736-9
  59. 59. Челноков Ю.Н. Кватернионные уравнения возмущенного движения искусственного спутника Земли // Космич. исслед. 2019. Т. 57. № 2. С. 117–131. https://doi.org/10.1134/S002342061902002X
  60. 60. Chelnokov Yu.N. Quaternion methods and models of regular celestial mechanics and astrodynamics // Appl. Math.&Mech. 2022. V. 43. № 1. P. 21–80. https://doi.org/10.1007/s10483-021-2797-9
  61. 61. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.
  62. 62. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 178 с.
  63. 63. Fukushima T. Efficient orbit integration by linear transformation for Kustaanheimo–Stiefel regularization // Astron. J. 2005. V. 129. № 5. Art. No. 2496. https://doi.org/10.1086/429546
  64. 64. Fukushima T. Numerical comparison of two-body regularizations // Astron. J. 2007. V. 133. № 6. Art. No. 2815.
  65. 65. Pelaez J., Hedo J.M., Rodriguez P.A. A special perturbation method in orbital dynamics // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2007. V. 97. P. 131–150. https://doi.org/10.1007/s10569-006-9056-3
  66. 66. Baù G., Bombardelli C., Pelaez J., Lorenzini E. Non-singular orbital elements for special perturbations in the two-body problem // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2015. V. 454. P. 2890–2908.
  67. 67. Amato D., Bombardelli C., Baù G., Morand V., Rosengren A.J. Non-averaged regularized formulations as an alternative to semi-analytical orbit propagation methods // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art. No. 21. https://doi.org/10.1007/s10569-019-9897-1
  68. 68. Baù G., Roa J. Uniform formulation for orbit computation: the intermediate elements // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2020. V. 132. Art. No. 10. https://doi.org/10.1007/s10569-020-9952-y
  69. 69. Челноков Ю.Н., Логинов М.Ю. Новые кватернионные модели регулярной механики космического полета и их приложения в задачах прогноза движения космических тел и инерциальной навигации в космосе // Сб. матер.: XXVIII С.-Петербургская межд. конф. по интегрированным навигационным системам. С.-Петербург, 2021. С. 292–295.
  70. 70. Челноков Ю.Н., Сапунков Я.Г., Логинов М.Ю., Щекутьев А.Ф. Прогноз и коррекция орбитального движения космического аппарата с использованием регулярных кватернионных уравнений и их решений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля и изохронных производных // ПММ. 2023. Т. 87. Вып. 2. С. 124–156.
  71. 71. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. I // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 6. С. 24–54.
  72. 72. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium // Nov. Comm. Petrop. 1765. V. 11. P. 144–151.
  73. 73. Levi-Civita T. Traettorie singolari ed urbi nel problema ristretto dei tre corpi // Ann. Mat. Pura Appl. 1904. V. 9. P. 1–32.
  74. 74. Levi-Civita T. Sur la regularization du probleme des trois corps // Acta Math. 1920. V. 42. P. 99–144. https://doi.org/10.1007/BF02418577
  75. 75. Levi-Civita T. Sur la resolution qualitative du probleme restreint des trois corps // Opere Math. 1956. № 2. P. 411–417.
  76. 76. Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion // Ann. Univ. Turku. 1964. V. 73. P. 3–7. https://doi.org/10.1086/518165
  77. 77. Kustaanheimo P., Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization // J. Reine Anqew. Math. 1965. V. 218. P. 204–219.
  78. 78. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 208 с.
  79. 79. Musen P. On Stromgren’s method of special perturbations // J. Astron. Sci. 1961. V. 8. P. 48–51.
  80. 80. Musen P. // NASA TN D-2301. 1964. P. 24.
  81. 81. Hopf H. Uber die Abbildung der dreidimensionalen Sphare auf die Kugelflache // Math. Ann. 1931. V. 104. P. 637–665.
  82. 82. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois crops // Acta Math. 1912. V. 36. P. 105–179.
  83. 83. Bohlin K. Note sur le probleme des deux corps et sur une integration nouvelle dans le problem des trois corps // Bull. Astron. 1911. V. 28. P. 113–119.
  84. 84. Burdet C.A. Theory of Kepler motion: The general perturbed two body problem // Zeitschrift fur angewandte Math. und Phys. 1968. V. 19. P. 345–368.
  85. 85. Burdet C.A. Le mouvement Keplerien et les oscillateurs harmoniques // J. fur die reine und angewandte Math. 1969. V. 238. P. 71–84.
  86. 86. Study E. Von der Bewegungen und Umlegungen // Math. Annal. 1891. V. 39. P. 441–566.
QR
Translate

Индексирование

Scopus

Scopus

Scopus

Crossref

Scopus

Higher Attestation Commission

At the Ministry of Education and Science of the Russian Federation

Scopus

Scientific Electronic Library