By this author

Forecast and Correction of the Orbital Motion of the Space Vehicle Using Regular Quaternion Equations and Their Solutions in the Kustaanheimo–Stiefels Variables and Isochronic Derivatives

Issue number 2 from 01.02.2023

Рассмотрены предложенные нами ранее регулярные кватернионные уравнения орбитального движения космического аппарата (КА) в четырехмерных переменных Кустаанхеймо–Штифеля (KS-переменных), в которых в качестве новой независимой переменной используется переменная, связанная с реальным временем дифференциальным соотношением (преобразованием времени Зундмана), содержащим расстояние до центра притяжения, а также построены различные новые регулярные кватернионные уравнения в этих переменных и в регулярных кватернионных оскулирующих элементах (медленно изменяющихся переменных), в которых в качестве новой независимой переменной используется половинная обобщенная эксцентрическая аномалия, широко используемая в небесной механике и механике космического полета. В качестве дополнительных переменных в этих уравнениях используются кеплеровская энергия и время. С использованием этих уравнений построены кватернионные уравнения и соотношения в вариациях KS-переменных и их первых производных и в вариациях кеплеровской энергии и нового времени, а также найдены изохронные производные от KS-переменных и их первых производных и матрица изохронных производных для эллиптического кеплеровского движения КА, необходимые для решения задач прогноза и коррекции его орбитального движения. Приведены результаты сравнительного исследования точности численного интегрирования ньютоновских уравнений пространственной ограниченной задачи трех тел (Земля, Луна и КА) в декартовых координатах и регулярных кватернионных уравнений этой задачи в KS-переменных, показывающие, что точность численного интегрирования этих уравнений значительно выше (на несколько порядков) точности численного интегрирования уравнений в декартовых координатах. Это обосновывает целесообразность использования для прогноза и коррекции орбитального движения КА регулярных кватернионных уравнений орбитального движения КА и построенных в статье на их основе кватернионных уравнений и соотношений в вариациях.

28 0

Quaternion and Biquaternion Methods and Regular Models of Analytical Mechanics (Review)

Issue number 4 from 01.04.2023

Работа носит обзорный аналитический характер. Излагаются кватернионные и бикватернионные методы описания движения, модели теории конечных перемещений и регулярной кинематики твердого тела, основанные на использовании четырехмерных вещественных и дуальных параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона). Эти модели, в отличие от классических моделей кинематики в углах Эйлера–Крылова и в их дуальных аналогах, не имеют особенностей типа деления на ноль и не содержат тригонометрических функций, что повышает эффективность аналитического исследования и численного решения задач механики, инерциальной навигации и управления движением. Обсуждается проблема регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, лежащих в основе небесной механики и механики космического полета (астродинамики), с помощью использования параметров Эйлера, четырехмерных переменных Кустаанхеймо–Штифеля и их модификаций, кватернионов Гамильтона: проблема устранения особенностей типа сингулярностей (деления на ноль), которые порождаются действующими на небесное или космическое тело ньютоновскими гравитационными силами и которые осложняют аналитическое и численное исследование движения тела вблизи гравитирующих тел или его движения по сильно вытянутым орбитам. Излагается история проблемы регуляризации и регулярные уравнения Кустаанхеймо–Штифеля, нашедшие широкое применение в небесной механике и астродинамике. Излагаются кватернионные методы регуляризации, имеющие ряд преимуществ перед матричной регуляризацией Кустаанхеймо–Штифеля, и различные регулярные кватернионные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел (как для абсолютного, так и для относительного движения), которые целесообразно использовать для прогноза и коррекции орбитального движения небесных и космических тел.

33 0

Quaternion Regularization of Singularities of Astrodynamic Models Generated by Gravitational Forces (Review)

Issue number 6 from 01.06.2023

Излагается регуляризация особенностей дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, порождаемых гравитационными силами, с использованием четырехмерных переменных и матриц Кустаанхеймо–Штифеля, а также кватернионная регуляризация уравнений этой задачи, предложенная автором и имеющая ряд преимуществ перед матричной регуляризацией Кустаанхеймо–Штифеля. Дается аналитический обзор работ, посвященных кватернионной регуляризации указанных особенностей с использованием переменных Кустаанхеймо–Штифеля, которая уникальна в совместной регуляризации, линеаризации и увеличении размерности для трехмерных кеплеровских систем. Рассмотрен предложенный автором новый метод регуляризации уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, основанный на использовании идеальных прямоугольных координат Ганзена, переменных Леви-Чивита и параметров Эйлера (Родрига–Гамильтона), а также на использовании в качестве дополнительных переменных кеплеровской энергии и реального времени и новой независимой переменной Зундмана. Приведены регулярные кватернионные уравнения в переменных Леви-Чивита и параметрах Эйлера этой задачи, которые имеют не только хорошо известные достоинства матричных уравнений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля, но и обладают своими дополнительными достоинствами.

30 0

Regular Quaternion Equations of the Spatial Hill Problem in Kustaanheimo–Stiefel Variables and Quaternion Osculating Elements

Issue number 3 from 01.03.2024

Получены регулярные кватернионные уравнения пространственной задачи Хилла (варианта ограниченной задачи трех тел (Солнце, Земля, Луна (или другое изучаемое движущееся космическое тело с малой массой)), когда расстояние между двумя телами с конечными массами считается весьма большим, в четырехмерных переменных Кустаанхеймо–Штифеля (KS-переменных) в рамках эллиптической и круговой пространственной ограниченной задачи трех тел, а также регулярные кватернионные уравнения плоской задачи Хилла в двухмерных переменных Леви-Чивита. В этих уравнениях в качестве переменных выступают KS-переменные или переменные Леви-Чивита и энергия относительного движения изучаемого тела или переменная, обращающаяся для круговой задачи Хилла в константу движения этого тела (постоянную интегрирования Якоби), а также планетоцентрическое расстояние Солнца и реальное время, связанное с новой независимой переменной дифференциальным преобразованием времени Зундмана или другим более сложным дифференциальным соотношением. Эти уравнения дополнены уравнением орбиты Земли в полярных координатах и уравнением для истинной аномалии, характеризующей положение Земли на орбите. Установлен первый интеграл полученных уравнений в KS-переменных в случае круговой задачи. Другим первым частным интегралом в общем случае является билинейное соотношение, связывающее KS-переменные и их первые производные. Предложены три новые формы регулярных уравнений пространственной задачи Хилла в кватернионных оскулирующих элементах (медленно изменяющихся кватернионных переменных). Предложенные регулярные кватернионные уравнения имеют осцилляторный вид или вид уравнений с медленно изменяющимися переменными, что позволяет эффективно использовать при исследовании задачи Хилла аналитические и численные методы теории колебаний и методы нелинейной механики.

30 0