Статьи автора

К задаче о нелинейных колебаниях вблизи треугольных точек либрации

Номер выпуска 3 от 02.06.2025

Изучается пространственная ограниченная задача трех тел, притягивающихся по ньютоновскому закону. Считается, что орбиты основных притягивающих тел являются эллипсами малого эксцентриситета. Методом нормальных форм построена приближенная математическая модель, описывающая нелинейные колебания пассивно гравитирующего тела вблизи лагранжевой треугольной точки либрации. Дано подробное исследование этих колебаний в одном частном случае резонанса третьего порядка.

39 0

О резонансных значениях параметров в задаче об устойчивости лагранжевых решений в близкой к круговой ограниченной задаче трех тел

Номер выпуска 4 от 01.04.2023

Рассматривается ограниченная задача трех тел (материальных точек), движущихся под действием гравитационного притяжения по закону Ньютона. Орбиты основных притягивающих тел считаются эллипсами с малым эксцентриситетом, а пассивно гравитирующее тело может совершать произвольное пространственное движение вблизи треугольной точки либрации. Для функции Гамильтона, отвечающей такому движению, указана структура нормальной формы в случае резонансов третьего порядка. С точностью до второй степени эксцентриситета получены уравнения резонансных кривых для всех резонансов плоской ограниченной задачи трех тел до шестого порядка включительно.

31 0

О расщеплении сепаратрис, отвечающих рабочему режиму регулятора Уатта

Номер выпуска 5 от 01.05.2023

Исследуется нелинейная задача динамики регулятора Уатта. Предполагается, что он установлен на машине, которая совершает заданные гармонические колебания малой амплитуды вдоль вертикали. Считается, что в шарнирах регулятора возникают силы вязкого трения, которые являются малыми. В основном рабочем режиме регулятора его стержни, несущие массивные грузы, отклонены от нисходящей вертикали на постоянный острый угол. Если пренебречь трением и вертикальными колебаниями машины, то получим приближенную задачу, в которой динамика регулятора будет описываться автономной гамильтоновой системой с одной степенью свободы. На фазовом портрете приближенной задачи рабочему режиму отвечает особая точка типа центр. Траектории, охватывающие эту точку, лежат внутри сепаратрисы, представляющей собой гомоклиническую двоякоасимптотическую траекторию, которая проходит через положение равновесия, отвечающее вертикальному положению стержней с грузами; на фазовом портрете этому положению отвечает седловая особая точка. При помощи метода Мельникова получено условие, при выполнении которого в полной возмущенной задаче (учитывающей диссипацию в шарнирах и вертикальные колебания машины) невозмущенная сепаратриса расщепляется.

28 0

К задаче о нелинейных колебаниях консервативной системы при отсутствии резонанса

Номер выпуска 3 от 01.03.2024

Разработан аналитический алгоритм нахождения частот нелинейных колебаний консервативной системы с двумя степенями свободы вблизи ее устойчивого положения равновесия. Предполагалось, что в системе нет резонансов до четвертого порядка включительно, т. е. отношение частот малых линейных колебаний не равняется единице, двум или трем. В качестве приложения рассмотрена задача о нелинейных колебаниях материальной точки на неподвижной абсолютно гладкой поверхности в однородном поле тяжести; указана оценка меры колмогоровского множества начальных условий, для которых движение точки является условно-периодическим. Рассмотрена также нелинейная консервативная система, в которой отсутствуют резонансы любого порядка. Система представляет собой маятник, образованный двумя скрепленными шарниром тонкими стержнями одинаковой длины и веса. Изучен характер нелинейных колебаний этого маятника в окрестности его устойчивого равновесия на вертикали.

27 0

О движении материальной точки по неподвижной эллипсоидальной поверхности

Номер выпуска 4 от 01.04.2024

Исследована нелинейная динамика точки, которая во все время движения остается на внутренней части абсолютно гладкой поверхности неподвижного трехосного эллипсоида. Движение происходит в однородном поле тяжести, наибольшая из осей эллипсоида направлена вдоль вертикали. Основное внимание уделяется движениям точки вблизи ее устойчивого положения равновесия в наинизшей точки поверхности эллипсоида, лежащей на его вертикальной оси. Дано качественное описание условно-периодических колебаний точки, указана оценка меры множества начальных условий, отвечающих этим колебаниям. В резонансном случае, когда отношение частот малых линейных колебаний равно двум, исследованы периодические движения точки: рассмотрен вопрос об их существовании, устойчивости и геометрическом представлении.

27 0