Везде

RAS Energy, Mechanics & ControlПрикладная математика и механика Journal of Applied Mathematics and Mechanics

  • ISSN (Print) 0032-8235
  • ISSN (Online) 3034-5758

Quaternion Regularization of Singularities of Astrodynamic Models Generated by Gravitational Forces (Review)

You can
PII
10.31857/S0032823523060036-1
DOI
10.31857/S0032823523060036
Publication type
Status
Published
Authors
Yu. N. Chelnokov
  • Affiliation: Institute of Precision Mechanics and Control Problems RAS
Volume/ Edition
Volume 87 / Issue number 6
Pages
915-953
Abstract
The article presents an analytical review of works devoted to the quaternion regularization of the singularities of differential equations of the perturbed three-body problem generated by gravitational forces, using the four-dimensional Kustaanheimo–Stiefel variables. Most of these works have been published in leading foreign publications. We consider a new method of regularization of these equations proposed by us, based on the use of two-dimensional ideal rectangular Hansen coordinates, two-dimensional Levi-Civita variables, and four-dimensional Euler (Rodrigues–Hamilton) parameters. Previously, it was believed that it was impossible to generalize the famous Levi-Civita regularization of the equations of plane motion to the equations of spatial motion. The regularization proposed by us refutes this point of view and is based on writing the differential equations of the perturbed spatial problem of two bodies in an ideal coordinate system using two-dimensional Levi-Civita variables to describe the motion in this coordinate system (in this coordinate system, the equations of spatial motion take the form of equations of plane motion) and based on the use of the quaternion differential equation of the inertial orientation of the ideal coordinate system in the Euler parameters, which are the osculating elements of the orbit, as well as on the use of Keplerian energy and real time as additional variables, and on the use of the new independent Sundmann variable. Reduced regular equations, in which Levi-Civita variables and Euler parameters are used together, have not only the well-known advantages of equations in Kustaanheimo–Stiefel variables (regularity, linearity in new time for Keplerian motions, proximity to linear equations for perturbed motions), but also have their own additional advantages: 1) two-dimensionality, and not four-dimensionality, as in the case of Kustaanheimo-Stiefel, a single-frequency harmonic oscillator describing in new time in Levi-Civita variables the unperturbed elliptic Keplerian motion of the studied (second) body, 2) slow change in the new time of the Euler parameters, which describe the change in the inertial orientation of the ideal coordinate system, for perturbed motion, which is convenient when using the methods of nonlinear mechanics. This work complements our review paper [1].
Keywords
механика космического полета (астродинамика), возмущенная пространственная задача двух тел регуляризация особенностей, порождаемых гравитационными силами идеальная система координат, уравнения орбитального движения, переменные Кустаанхеймо–Штифеля, параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), координаты Ганзена, переменные Леви-Чивита, кватернион
Date of publication
01.06.2023
Year of publication
2023
Number of purchasers
0
Views
34

References

  1. 1. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные методы и регулярные модели аналитической механики (обзор) // ПММ. 2023. Т. 87. № 4. С. 519–556.
  2. 2. Levi-Civita T. Sur la regularization du probleme des trois corps // Acta Math. 1920. V. 42. P. 99–144. https://doi.org/10.1007/BF02418577
  3. 3. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. M.: Наука, 1975. 303 с.
  4. 4. Aarseth S.J., Zare K.A. Regularization of the three-body problem // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 185–205.
  5. 5. Aarseth S.J. Gravitational N-Body Simulations. Cambridge: Univ. Press, 2003. 408 p.
  6. 6. Hopf H. Uber die Abbildung der dreidimensionalen Sphare auf die Kugelflache // Math. Ann. 1931. V. 104. P. 637–665.
  7. 7. Hurwitz A. Mathematische Werke. Vol. 2. Basel: Birkhauser, 1933.
  8. 8. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. II // Космич. исслед. 2014. Т. 52. № 4. С. 322–336. https://doi.org/10.7868/S0023420614030029
  9. 9. Deprit A. Ideal frames for perturbed keplerian motions // Celest. Mech. 1976. V. 13. № 2. P. 253–263.
  10. 10. Sundman K.F. Memoire sur le probleme des trois crops // Acta Math. 1912. V. 36. P. 105–179.
  11. 11. Velte W. Concerning the regularizing KS-transformation // Celest. Mech. 1978. V. 17. P. 395–403.
  12. 12. Vivarelli M.D. The KS-transformation in hypercomplex form // Celest. Mech. 1983. V. 29. P. 45–50.
  13. 13. Vivarelli M.D. Geometrical and physical outlook on the cross product of two quaternions // Celest. Mech. 1988. V. 41. P. 359–370.
  14. 14. Vivarelli M.D. On the connection among three classical mechanical problems via the hypercomplex KS-transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 1991. V. 50. P. 109–124.
  15. 15. Shagov O.B. On two types of equations of motion of an artificial Earth satellite in oscillatory form // Mech. Solids. 1990. № 2. P. 3–8.
  16. 16. Deprit A., Elipe A., Ferrer S. Linearization: Laplace vs. Stiefel // Celest. Mech.&Dyn. Astron., 1994. V. 58. P. 151–201.
  17. 17. Vrbik J. Celestial mechanics via quaternions // Canad. J. Phys. 1994. V. 72. P. 141–146.
  18. 18. Vrbik J. Perturbed Kepler problem in quaternionic form // J. Phys. A: Math.&General., 1995. V. 28. P. 193–198.
  19. 19. Waldvogel J. Quaternions and the perturbed Kepler problem // Celest. Mech.&Dyn. Astr. 2006. V. 95. P. 201–212.
  20. 20. Waldvogel J. Quaternions for regularizing Celestial Mechanics: the right way // Celest. Mech.&Dyn. Astr. 2008. V. 102. № 1. P. 149–162.
  21. 21. Saha P. Interpreting the Kustaanheimo-Stiefel transform in gravitational dynamics // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2009. V. 400. P. 228–231. https://doi.org/10.1111/j.1365-2966.2009.15437.x.arXiv:0803.4441
  22. 22. Zhao L. Kustaanheimo–Stiefel regularization and the quadrupolar conjugacy // R.&C. Dyn., 2015. V. 20. № 1. P. 19–36. https://doi.org/10.1134/S1560354715010025
  23. 23. Roa J., Urrutxua H., Pelaez J. Stability and chaos in Kustaanheimo-Stiefel space induced by the Hopf fibration // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2016. V. 459. № 3. P. 2444–2454. https://doi.org/10.1093/mnras/stw780.arXiv:1604.06673
  24. 24. Roa J., Pelaez J. The theory of asynchronous relative motion II: universal and regular solutions // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2017. V. 127. pp. 343–368.
  25. 25. Breiter S., Langner K. Kustaanheimo–Stiefel transformation with an arbitrary defining vector // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2017. V. 128. P. 323–342.
  26. 26. Breiter S., Langner K. The extended Lissajous–Levi-Civita transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2018. V. 130. Art. № 68. https://doi.org/10.1007/s10569-018-9862-4
  27. 27. Breiter S., Langner K. The Lissajous–Kustaanheimo–Stiefel transformation // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art. № 9. https://doi.org/10.1007/s10569-018-9862-4
  28. 28. Ferrer S., Crespo F. Alternative angle-based approach to the KS-Map. An interpretation through symmetry // J. Geom. Mech. 2018. V. 10. № 3. P. 359–372.
  29. 29. Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 6. С. 12–21.
  30. 30. Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. № 1. С. 151–158.
  31. 31. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 1: Общая теория. Приложения к задаче регуляризации и к задаче о движении ИСЗ. М.: 1985. 36 с. Деп. в ВИНИТИ 13.12.85. № 218628-В.
  32. 32. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Ч. 2: Пространственная задача невозмущенного центрального движения. Задача с начальными условиями. М.: 1985. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 13.22.85. № 8629-В.
  33. 33. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I // Космич. исслед. 1992. Т. 30. Вып. 6. С. 759–770.
  34. 34. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. II // Космич. исслед. 1993. Т. 31. Вып. 3. С. 3–15.
  35. 35. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 1 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 1. С. 20–30.
  36. 36. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация и стабилизация возмущенного центрального движения. Ч. 2 // Изв. РАН. МТТ. 1993. № 2. С. 3–11.
  37. 37. Челноков Ю.Н. Анализ оптимального управления движением точки в гравитационном поле с использованием кватернионов // Изв. РАН. ТиСУ. 2007. № 5. С. 18–44.
  38. 38. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. I // Космич. исслед. 2013. Т. 51. № 5. С. 389–401. https://doi.org/10.7868/S0023420613050026
  39. 39. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация в небесной механике и астродинамике и управление траекторным движением. III // Космич. исслед. 2015. Т. 53. № 5. С. 430–446. https://doi.org/10.7868/S0023420615050040
  40. 40. Челноков Ю.Н. Возмущенная пространственная задача двух тел: регулярные кватернионные уравнения относительного движения // ПММ. 2018. Т. 82. № 6. С. 721–733. https://doi.org/10.31857/S003282350002736-9
  41. 41. Челноков Ю.Н. Кватернионные уравнения возмущенного движения искусственного спутника Земли // Космич. исслед. 2019. Т. 57. № 2. С. 117–131. https://doi.org/10.1134/S002342061902002X
  42. 42. Chelnokov Yu.N. Quaternion methods and models of regular celestial mechanics and astrodynamics // Appl. Math.&Mech. 2022. V. 43. № 1. P. 21–80. https://doi.org/10.1007/s10483-021-2797-9
  43. 43. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136 с.
  44. 44. Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А. Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитические и численные методы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. 178 с.
  45. 45. Fukushima T. Efficient orbit integration by linear transformation for Kustaanheimo–Stiefel regularization // Astron. J. 2005. V. 129. № 5. Art. № 2496. https://doi.org/10.1086/429546
  46. 46. Fukushima T. Numerical comparison of two-body regularizations // Astron. J. 2007. V. 133. № 6. Art. № 2815.
  47. 47. Pelaez J., Hedo J.M., Rodriguez P.A. A special perturbation method in orbital dynamics // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2007. V. 97. P. 131–150. https://doi.org/10.1007/s10569-006-9056-3
  48. 48. Bau G., Bombardelli C., Pelaez J., Lorenzini E. Non-singular orbital elements for special perturbations in the two-body problem // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 2015. V. 454. P. 2890–2908.
  49. 49. Amato D., Bombardelli C., Bau G., Morand V., Rosengren A.J. Non-averaged regularized formulations as an alternative to semi-analytical orbit propagation methods // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2019. V. 131. Art. № 21. https://doi.org/10.1007/s10569-019-9897-1
  50. 50. Bau G., Roa J. Uniform formulation for orbit computation: the intermediate elements // Celest. Mech.&Dyn. Astron. 2020. V. 132. Art. № 10. https://doi.org/10.1007/s10569-020-9952-y
  51. 51. Челноков Ю.Н., Логинов М.Ю. Новые кватернионные модели регулярной механики космического полета и их приложения в задачах прогноза движения космических тел и инерциальной навигации в космосе // Сб. матер.: XXVIII С.-Петербургская межд. конф. по интегрированным навигационным системам. С.-Петербург, 2021. С. 292–295.
  52. 52. Челноков Ю.Н., Сапунков Я.Г., Логинов М.Ю., Щекутьев А.Ф. Прогноз и коррекция орбитального движения космического аппарата с использованием регулярных кватернионных уравнений и их решений в переменных Кустаанхеймо–Штифеля и изохронных производных // ПММ. 2023. Т. 87. Вып. 2. С. 124–156.
  53. 53. Челноков Ю.Н. Кватернионная регуляризация уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. I // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 6. С. 24–54.
  54. 54. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium // Nov. Comm. Petrop. 1765. V. 11. P. 144–151.
  55. 55. Levi-Civita T. Traettorie singolari ed urbi nel problema ristretto dei tre corpi // Ann. Mat. Pura Appl. 1904. V. 9. P. 1–32.
  56. 56. Levi-Civita T. Sur la resolution qualitative du probleme restreint des trois corps // Opere Math. 1956. № 2. P. 411–417.
  57. 57. Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion // Ann. Univ. Turku. 1964. V. 73. P. 3–7. https://doi.org/10.1086/518165
  58. 58. Kustaanheimo P., Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization // J. Reine Anqew. Math. 1965. V. 218. P. 204–219.
  59. 59. Hopf H. Uber die Abbildung der dreidimensionalen Sphare auf die Kugelflache // Math. Ann. 1931. V. 104. P. 637–665.
  60. 60. Volk O. Concerning the derivation of the KS-transformation // Celest. Mech. 1973. V. 8. P. 297–305.
  61. 61. Лидов М.Л. Увеличение размерности гамильтоновых систем. KS-преобразование, использование частных интегралов // Космич. исслед. 1982. Т. 20. № 2. С. 163–176.
  62. 62. Лидов М.Л. Метод построения семейств пространственных периодических орбит в задаче Хилла // Космич. исслед. 1982. Т. 20. № 6. С. 787–807.
  63. 63. Лидов М.Л., Ляхова В.А. Семейства пространственных периодических орбит задачи Хилла и их устойчивость // Космич. исслед. 1983. Т. 21. № 1. С. 3–11.
  64. 64. Полещиков С.М. Регуляризация канонических уравнений задачи двух тел с помощью обобщенной KS-матрицы // Космич. исслед. 1999. Т. 37. № 3. С. 322–328.
  65. 65. Stiefel E.L., Waldvogel J. Generalisation de la regularisation de Birkhoff pour le mouvement du mobile dans l’espace a trois dimensions // Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de Lacademie des Sciences. 1965, Paris.
  66. 66. Stiefel E., Rossler M., Waldvogel J., Burdet C.A. Methods of regularization for computing orbits in celestial mechanics // NASA Contractor Rep. NASA CR-769. 1967. P. 88–115.
  67. 67. Birkhoff G.D. The restricted problem of three bodies // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884–1940). 1915. V. 39 (1). P. 265–334.
  68. 68. Waldvogel J. Die Verallgemeinerung der Birkhoff-Regularisierung fur das raumliche Dreikorperproblem // Bull. Astron. Ser. 3. 1967. V. 2. № 2. P. 295–341.
  69. 69. Andoyer H. Cours de Mecanigue Celeste. Paris: Gauthier-Vilars, 1923.
  70. 70. Musen P. Application of Hansen’s theory to the motion of an artificial satellite in the gravitational field of the Earth // J. Geoph. Res. 1959. V. 64. P. 2271–2279.
  71. 71. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 208 с.
QR
Translate

Индексирование

Scopus

Scopus

Scopus

Crossref

Scopus

Higher Attestation Commission

At the Ministry of Education and Science of the Russian Federation

Scopus

Scientific Electronic Library