- PII
- 10.31857/S0032823523050041-1
- DOI
- 10.31857/S0032823523050041
- Publication type
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 87 / Issue number 5
- Pages
- 784-800
- Abstract
- The motion of a heavy rigid body with a fixed point in a uniform gravitational field is considered. It is assumed that the main moments of inertia of the body for the fixed point satisfy the condition of D.N. Goryachev–S.A. Chaplygin, i.e., they are in the ratio 1 : 4 : 1. In contrast to the integrable case of D.N. Goryachev–S.A. Chaplygin, no additional restrictions are imposed on the position of the center of mass of the body. The problem of orbital stability of pendulum periodic motions of the body is investigated. In the neighborhood of periodic motions, local variables are introduced and equations of perturbed motion are obtained. On the basis of a linear analysis of stability, the orbital instability of pendulum rotations for all values of the parameters has been concluded. It has been established that, depending on the values of the parameters, pendulum oscillations can be both orbitally unstable and orbitally stable in a linear approximation. For pendulum oscillations that are stable in the linear approximation, based on the methods of KAM theory, a nonlinear analysis is performed and rigorous conclusions about the orbital stability are obtained.
- Keywords
- маятниковые периодические движения орбитальная устойчивость случай Д.Н. Горячева–С.А. Чаплыгина локальные переменные гамильтоновы системы
- Date of publication
- 01.05.2023
- Year of publication
- 2023
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 24
References
- 1. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской // ПММ. 2001. Т. 65. С. 51–58.
- 2. Маркеев А.П., Медведев С.В., Чеховская Т.Н. К задаче об устойчивости маятниковых движений твердого тела в случае Ковалевской // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 1. С. 3–9.
- 3. Иртегов В.Д. Устойчивость маятниковых колебаний гироскопа Ковалевской // Тр. Казан. Авиац. ин-та мат. и мех. 1968. Т. 97. С. 38–40.
- 4. Брюм А.З. Исследование орбитальной устойчивости при помощи первых интегралов // ПММ. 1989. Т. 53. № 6. С. 873–879.
- 5. Брюм А.З., Савченко А.Я. Об орбитальной устойчивости одного периодического решения уравнений движения гироскопа Ковалевской // ПММ. 1986. Т. 50. № 6. С. 967–973.
- 6. Бардин Б.С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева–Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 2. С. 14–21.
- 7. Bardin B.S. On a method of introducing local coordinates in the problem of the orbital stability of planar periodic motions of a rigid body // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2020. V. 16. № 4. P. 581–594.
- 8. Маркеев А.П. О маятникообразных движениях твердого тела в случае Горячева–Чаплыгина // ПММ. 2004. Т. 68. № 2. С. 282–293.
- 9. Bardin B.S., Rudenko T.V., Savin A.A. On the orbital stability of planar periodic motions of a rigid body in the Bobylev–Steklov case // R&C Dyn. 2012. V. 17. № 6. P. 533–546.
- 10. Bardin B.S. Local coordinates in problem of the orbital stability of pendulum-like oscillations of a heavy rigid body in the Bobylev–Steklov case // J. Phys.: Conf. Ser. Bristol. 2021. Art. no. 012016. P. 1–10.
- 11. Yehia H.M., Hassan S.Z., Shaheen M.E. On the orbital stability of the motion of a rigid body in the case of Bobylev–Steklov // Nonlin. Dyn. 2015. V. 80. № 3. P. 1173–1185.
- 12. Bardin B.S., Savin A.A. On the orbital stability of pendulum-like oscillations and rotations of a symmetric rigid body with a fixed point // R&C Dyn. 2012. V. 17. № 3–4. P. 243–257.
- 13. Бардин Б.С., Савин А.А. Об устойчивости плоских периодических движений симметричного твердого тела с неподвижной точкой // ПММ. 2013. Т. 77. № 6. С. 806–821.
- 14. Ляпунов А.М. Общая задача устойчивости. М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. 472 с.
- 15. Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М.; Ижевск: Регул. и хаотич. дин., 2009. 395 с.
- 16. Giacaglia G.E.O. Perturbation Methods in Non-Linear System. New York: Springer, 1972. 369 p.
- 17. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.
- 18. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 479 с.
- 19. Siegel C., Moser J. Lectures on Celestial Mechanics. New York: Springer, 1971. xii+290 p.
- 20. Иванов А.П., Сокольский А.Г. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы при параметрическом резонансе основного типа // ПММ. 1980. Т. 44. № 6. С. 963–970.
- 21. Маркеев А.П. Об одном способе исследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 6. С. 3–12.
- 22. Bardin B.S., Chekina E.A., Chekin A.M. On the stability of planar resonant rotation of a satellite in an elliptic orbit // R&C Dyn. 2015. V. 20. № 1. P. 63–73.
